ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Программа дисциплины "Математическая статистика с элементами теории вероятностей"  предусматривает изучение теоретических основ статистических методов исследования массовых социально-экономических процессов и явлений; их вероятностно-математического  аппарата.

Программа состоит из двух разделов: "Элементы теории вероятностей" и "Математическая статистика".

Содержанием первого раздела являются научные принципы расчета вероятностей случайных событий, законы распределения вероятностей дискретных и непрерывных случайных величин, выявление особенностей их распределения, закон больших чисел.

Содержание второго раздела составляют способы расчета параметров генеральной и выборочной совокупностей, теоретические методы вероятностного оценивания характеристик генеральной совокупности по выборочным данным, сравнения параметров распределений случайных величин.

В процессе преподавания дисциплины необходимо раскрывать задачи статистики, отражать достижения современной статистической науки, рассматривать приемы и методы вероятностного статистико-математического изучения социально-экономических процессов и явлений.

Для активизации учебного процесса и в целях улучшения усвоения студентами учебного материала следует широко использовать систему дидактических приемов и методов, использовать средства вычислительной техники, статистические пакеты прикладных программ, наглядные пособия.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать методы расчета вероятностей случайных событий, особенности основных законов распределения случайных величин, способы их задания, условия возникновения и особенности нормального закона распределения, алгоритмы расчета параметров генеральной и выборочной совокупностей, способы оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным, методику сравнения параметров распределений случайных величин.

Студент должен уметь рассчитывать вероятности событий, задавать закон распределения вероятностей случайной величины, рассчитать параметры его распределения и выявить его особенности, рассчитывать  параметры выборочной совокупности, оценить параметры генеральной совокупности по выборочным данным, сравнивать параметры распределений случайных величин.

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

НА 1998-1999 УЧЕБНЫЙ ГОД  ПО КУРСУ

“Математическая статистика с элементами теории вероятностей”

Наименование темы	Раздел (математическая статистика - МС; элементы теории вероятностей- ЭТВ)	Число часов при очной форме обучения
		Всего	в том числе:
			лекции	практические занятия
Тема 1. Вариационный ряд.	МС	4	2	2
Тема 2. Числовые характеристики вариационного ряда.	МС	8	4	4
Тема 3. Элементы теории вероятностей.	ЭТВ	13	6	7
Тема 4. Дискретные случайные величины.	ЭТВ	4	2	2
Тема 5. Законы распределения дискретных случайных величин.	ЭТВ	4	2	2
Тема 6. Непрерывные случайные величины.	ЭТВ	4	2	2
Тема 7. Законы распределения непрерывных случайных величин.	ЭТВ	5	2	3
Тема 8. Закон больших чисел.	ЭТВ	4	2	2
Тема 9. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях.	МС	10	6	4
Тема 10. Статистическая проверка гипотез.	МС	16	8	8
Итого:		72	36	36

 

СОСТАВИЛ:  к.э.н., доц. Житников И.В.

 

Заведующий кафедрой

статистического моделирования

и прогнозирования, д.э.н., проф.                                                  Ниворожкина Л.И.

 

 

Утверждено на заседании кафедры статистического моделирования и прогнозирования   “ 19 “ октября 1998 года , протокол № 2.

 

 

Содержание учебной дисциплины

 

Введение: Содержание и порядок изучения предмета, его связь с другими предметами учебного плана, предмет и методы статистики, история статистики.

 

Тема 1. Вариационный ряд.

 

Содержание изучаемых вопросов:

1. Понятие о вариационном ряде. Частоты и частости.

2. Виды вариации. Дискретные и интервальные вариационные ряды.

3. Частость. Границы интервалов и величина интервала.

4. Плотность распределения.

5. Накопленные частоты (частости).

6. Графические методы изображения вариационного ряда: полигон, гистограмма, кумулята, огива1.

Студент должен знать:

Понятия дискретного и интервального вариационного рядов, частоты, частости, накопленной частоты и частости, плотности распределения, виды вариации, способы построения дискретных и интервальных вариационных рядов и их графического представления.

 Студент должен уметь:

Представлять вариационные ряды в табличном и графическом виде: составлять дискретные и интервальные вариационные ряды, рассчитывать частоты, частости, накопленные частоты и частости,  строить графики вариационных рядов.

 

Тема 2. Числовые характеристики вариационного ряда.

Содержание изучаемых вопросов:

1. Средняя арифметическая и ее свойства. Квантили.¹ Мода. Медиана.

2. Показатели колеблемости признака: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

3. Частные дисперсии.

4. Средняя из частных дисперсий.

5. Межгрупповая дисперсия.

6. Правило сложения дисперсий.

7. Моменты распределения.

8. Асимметрия и эксцесс.

9. Эмпирическая функция.¹

10.Дисперсия альтернативного признака.¹

Студент должен знать:

Определение средней, виды средних величин, формулы расчета средней арифметической, моды, медианы, понятие вариации, формулы расчета вариационного размаха, среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации, частных дисперсий, средней из частных дисперсий, межгрупповой дисперсии, правило сложения дисперсий, понятие о моментах распределения, асимметрии и эксцессе, формулы расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса, понятие эмпирической функции, формулу расчета дисперсия альтернативного признака.

 Студент должен уметь:

Определять наиболее типичный уровень варьирующего признака: рассчитать  среднюю арифметическую, моду, медиану; оценить степень его вариации: рассчитать вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации; разложить дисперсию на части: рассчитать частные дисперсии, среднюю из частных дисперсий, межгрупповую дисперсию, проиллюстрировать правило сложения дисперсий, оценить особенности ряда распределения: рассчитать моменты распределения, коэффициенты асимметрии и эксцесса; задать эмпирическую функцию и построить ее график,  рассчитать дисперсию альтернативного признака.

 

Раздел I. Элементы теории вероятностей.

Тема 3. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей.

Содержание изучаемых вопросов:

1.Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки.

2. Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки, перестановки с повторениями.

3.Испытания, события и их классификация.

4. Классическое и статистическое определения вероятности. Свойства вероятности. Алгебра событий.

5. Теоремы сложения вероятностей.

6. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения вероятностей. Независимость и зависимость событий в совокупности. Вероятность наступления хотя бы одного из n независимых ( зависимых) в совокупности событий.

7. Формулы полной вероятности и Байеса.

Студент должен знать:

Предмет теории вероятностей, виды комбинаций и способы их расчета, понятия испытания и события, классификацию событий, классическое и статистическое определения вероятности, свойства вероятности, алгебру событий, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.

Студент должен уметь:

Рассчитать число различных комбинаций элементов,  использовать классическое и статистическое определения вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса для расчета вероятностей событий.

 

Тема 4. Дискретные случайные величины.

Содержание изучаемых вопросов:

1.Понятие дискретной и непрерывной  случайной величины. Способы задания закона распределения случайной величины. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2. Независимость случайных величин и  математические операции над случайными величинами.

3.Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

4.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты распределения.

Студент должен знать:

Понятия дискретной и непрерывной  случайной величины, способы задания закона распределения случайной величины, функции распределения вероятностей дискретной случайной величины, понятия, формулы расчета и свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины, формулы расчета среднего квадратического отклонения, моментов распределения.

Студент должен уметь:

Задать закон распределения дискретной случайной величины в табличном, аналитическом и графическом виде, рассчитать параметры распределения дискретной случайной величины.

Тема 5. Законы распределения дискретных случайных величин.

Содержание изучаемых вопросов:

1. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и биномиальный закон распределения.

2. Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения. Наивероятнейшее число появления событий. Математическое ожидание и дисперсия частоты и частости.

3. Распределение Пуассона¹.

4. Гипергеометрическое распределение.

5. Мультиномиальное распределение. Геометрическое распределение¹.

6. Производящая функция¹.

Студент должен знать:

Основные законы распределения дискретных случайных величин, их отличительные черты, функции, особенности расчета их числовых характеристик.

Студент должен уметь:

Определить закон распределения дискретной случайной величины, задать его в табличном, аналитическом и графическом виде, рассчитать числовые характеристики.

 

 Тема 6. Непрерывные случайные величины.

             Содержание изучаемых вопросов:

1. Определение непрерывной случайной величины. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины (интегральная функция).

2. Свойства функции распределения (для дискретной и непрерывной случайных величин).

3. График функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

4. Плотность распределения (дифференциальная функция).

5. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

6. Свойства дифференциальной функции.

7. Вероятностный смысл дифференциальной функции.

8. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание и дисперсия. Моменты. Асимметрия и эксцесс. Квантиль. Мода. Медиана.

Студент должен знать:

Определение непрерывной  случайной величины, способы задания закона распределения непрерывной случайной величины, функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины и их свойства, связь дифференциальной и интегральной функций распределения непрерывной случайной величины, формулы расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

Студент должен уметь:

Задать закон распределения непрерывной случайной величины в табличном, аналитическом и графическом виде, рассчитать параметры распределения непрерывной случайной величины.

 

Тема 7. Законы распределения непрерывных случайных величин.

Содержание изучаемых вопросов:

1. Нормальное распределение.

2. Стандартное (нормированное) нормальное распределение.

3. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.

4. Нормальное распределение как аппроксимация дискретных распределений. Вероятность заданного отклонения частоты от своего математического ожидания. Вероятность заданного отклонения частости от вероятности.  Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

5. Показательное и равномерное распределения¹.

Студент должен знать:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин, их отличительные черты, функции, особенности расчета их числовых характеристик, значение нормального закона распределения в статистических исследованиях, основные теоремы нормального закона распределения, функции нормированного нормального распределения, алгоритмы использования таблиц значений функций нормального закона распределения для определения значений функций нормального распределения с любыми параметрами, алгоритм аппроксимации дискретных распределений нормальным законом.

Студент должен уметь:

Определить закон распределения непрерывной случайной величины, задать его в табличном, аналитическом и графическом виде, рассчитать числовые характеристики, пользоваться таблицами значений функций нормированного нормального распределения, использовать теоремы нормального закона распределения для определения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал, заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, частоты от своего математического ожидания, частости от вероятности, аппроксимировать дискретные распределения нормальным законом.

 

Тема 8. Закон больших чисел¹.

Содержание изучаемых вопросов:

1. Понятие о законе больших чисел.

2. Неравенства Маркова, Чебышева.

3. Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона.

4. Понятие о “центральной предельной теореме” Ляпунова.

Студент должен знать:

Понятие закона больших чисел в узком и широком смысле, неравенства Маркова, Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона, понятие о “центральной предельной теореме” Ляпунова.

Студент должен уметь:

Использовать неравенства Маркова, Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона для оценки вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания, средней арифметической случайных величин от их математического ожидания, средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, частоты от своего математического ожидания, частости от вероятности.

 

Раздел II. Математическая статистика.

Тема 9. Выборочный метод и его значение в экономических  исследованиях.

 Содержание изучаемых вопросов:

1. Понятие выборочного метода. Статистическое распределение выборки. Генеральная и выборочная совокупность.

2. Способы отбора: собственно-случайный (повторный и бесповторный), механический, типический, серийный.

3. Ошибки регистрации и репрезентативности (систематические и случайные).

4. Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания). Точечные оценки: генеральной средней по выборочной средней. Точечная оценка генеральной дисперсии. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. “Исправленная” выборочная  дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

5. Предельная и средняя ошибка выборки для средней и доли.

6. Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность. Доверительный интервал для оценки генеральной средней нормального распределения при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для оценки генеральной доли.

7. Необходимая численность выборки.

8. Малая выборка, распределение Стьюдента.

Студент должен знать:

Понятия выборочного метода, генеральной и выборочной совокупностей, способы отбора единиц генеральной совокупности в выборку: собственно-случайный (повторный и бесповторный), механический, типический, серийный, виды ошибок статистического наблюдения; сущность теории оценивания; точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным данным; требования, предъявляемые к статистическим оценкам; механизм интервального оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным; параметры интервального оценивания, вероятностный смысл статистических оценок; формулы расчета предельной и средней ошибок выборки при оценке генеральных средней и доли для различных способов отбора; формулы расчета необходимой численности выборки, понятия о малой выборке и распределении Стьюдента.

Студент должен уметь:

Провести точечное и интервальное оценивание неизвестных параметров генеральной совокупности по выборочным данным, рассчитать среднюю и предельную ошибки выборки при оценке генеральных средней и доли для различных способов отбора, необходимую численность большой и малой выборок; пользоваться таблицами распределения Стьюдента.

Тема 10. Статистическая проверка гипотез.

 Содержание изучаемых вопросов:

1. Законы распределения,  применяемые в математической статистике: Стьюдента, Хи- квадрат, Фишера¹.

2. Статистические гипотезы их виды. Нулевая и конкурирующая гипотезы.

3. Ошибки I и II рода. Уровень значимости.

4. Параметрические и непараметрические гипотезы.

5. Проверка гипотез о форме распределения. Критерий согласия Пирсона.

6. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности.

7. Проверка гипотез о равенстве двух средних генеральных совокупностей,  дисперсии которых известны (независимые выборки). Проверка гипотез о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

8. Проверка гипотез о равенстве выборочной средней с предполагаемой генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии; проверка гипотез о равенстве двух долей

9. Модели дисперсионного анализа при одном или нескольких факторах. Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

Студент должен знать:

Особенности законов распределения Стьюдента, Хи- квадрат, Фишера, сферу их применения в математической статистике; понятие статистических гипотез, их виды, ошибки I и II рода, понятие об уровне значимости; виды критических областей; виды параметрических и непараметрических гипотез; алгоритм проверки статистических гипотез; статистические критерии проверки гипотез о форме распределения, о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнения исправленной выборочной дисперсии с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности, о равенстве двух средних генеральных совокупностей,  дисперсии которых известны (независимые выборки), о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки), о равенстве выборочной средней с предполагаемой генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии, о равенстве двух долей, модели дисперсионного анализа при одном или нескольких факторах, алгоритм сравнения нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

Студент должен уметь:

Пользоваться таблицами распределений Стьюдента, ?- квадрат, Фишера; формулировать нулевую и конкурирующую гипотезу, устанавливать уровень значимости; определять тип критической области; выбрать критерий проверки статистических гипотез; осуществить проверку гипотез о форме распределения, о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей, сравнение исправленной выборочной дисперсии с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности, проверить гипотезы о равенстве двух средних генеральных совокупностей,  дисперсии которых известны (независимые выборки), о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки), о равенстве выборочной средней с предполагаемой генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии, о равенстве двух долей,  осуществить дисперсионный анализ при одном или нескольких факторах, сравнить несколько средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.