Задачи к теме 1

1.1. Во многих странах водительское удостовере­ние (автомобильные права) имеет шифр, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число воз­можных номеров водительских удостоверений, счи­тая, что число букв русского алфавита, используе­мых для составления шифра, — 26, а буквы занима­ют первые 3 позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно об­щее число всех возможных номеров удостоверений, если: а) цифры в шифре не повторяются; б) повто­ряются?

1.2. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для вы­бора на руководящую должность? Какова вероят­ность того, что кандидаты будут расставлены в спис­ке по возрасту (от меньшего к большему)?·

1.3. Руководство фирмы выделило отделу рекла­мы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По рас­четам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует спосо­бов случайного отбора газет для помещения объяв­лений? Какова вероятность того, что в число ото­бранных попадут 15 газет, имеющих наибольший ти­раж?*

1.4. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 чело­век, подавших заявления о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке? Какова ве­роятность того, что они случайно будут приглаше­ны на собеседование в зависимости от времени их прихода в офис?*

1.5. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава? Какова вероятность того, что составы слу­чайно будут расставлены на путях в порядке возра­стания их номеров?*

1.6. Покупая карточку лотереи «Спортлото», иг­рок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значи­тельную сумму денег. Сколько возможных комби­наций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все 6 номеров?*

1.7. Четыре человека случайно отбираются из 10 согласившихся участвовать в интервью для выясне­ния их отношения к продукции фирмы по производ­ству продуктов питания. Эти 4 человека прикреп­ляются к 4 интервьюерам. Сколько существует раз­личных способов составления таких групп? Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепле­ния определенного человека к интервьюеру?*

1.8. Сколькими способами можно рассадить 5 гос­тей за круглым столом? Какова вероятность того, что гости случайно окажутся рассаженными по ро­сту?*

1.9. Девять запечатанных пакетов с предложения­ми цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с пред­ложениями цены? Какова вероятность того, что кон­верты случайно окажутся вскрытыми в зависимос­ти от величины предлагаемой за аренду участков цены?*

1.10. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существу­ет способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число ото­бранных попадут 4 помещения, расположенные в многоэтажных зданиях?*

1.11. Для разгрузки поступивших товаров менедже­ру требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуще­ствляя отбор в случайном порядке? Какова вероят­ность того, что в число отобранных войдут самые высокие рабочие?*

1.12. Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристичес­ких поездок. Сколько существует способов распре­деления 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки? Какова вероятность того, что заявки получат агент­ства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?*

1.13. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько все­возможных комбинаций он может составить для набора пароля: а) если цифры в коде не повторяют­ся; б) если повторяются? С какой вероятностью мож­но открыть замок с первой попытки?*

1.14. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Какова вероятность того, что список окажется со­ставленным в алфавитном порядке?*

1.15. На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно рав­ными возможностями. Для апробации в своих фи­лиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?*

1.16. Выделены крупные суммы на выполнение 4 крупных правительственных программ, сулящих ис­полнителям высокую прибыль. Сколько существует способов случайного распределения этих 4 программ между 6 возможными исполнителями? Какова ве­роятность того, что средства на выполнение про­грамм при таком распределении получат 4 испол­нителя, имеющие наибольшую прибыль, причем ве­личина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?*

1.17. Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей среди имеющихся акций цене и обладают одинако­вой доходностью. Клиент собирается приобрести ак­ции 3 таких компаний — по 1 от каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких ак­ций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число слу­чайно отобранных попадут акции, рост цен на ко­торые будет наибольшим в следующем году?*

1.18. Фирмы F1, F2, FЗ, F4, F5 предлагают свои условия по выполнению 3 различных контрактов С1, С2 и СЗ. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е. если фирма F1 получит контракт С1, то это не то же самое, если она получит контракт С2. Сколько спо­собов получения контрактов имеют фирмы? Если предположить равновозможность заключения кон­трактов, чему равна вероятность того, что фирма FЗ получит контракт?*

1.19. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участ­ков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Какова вероятность того, что случайно отобранные для бурения участки окажут­ся, например, самыми северными?*

1.20. На 9 вакантных мест по определенной специ­альности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно ком­бинаций выбора 9 из 15 безработных?

Задачи к теме 2

2.1. Анализ работы кредитного отдела банка выя­вил, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обан­кротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет. Также известно, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна веро­ятность того, что он окажется не в состоянии вер­нуть долг банку?

2.2. Модельер, разрабатывающий новую коллек­цию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероят­ность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный — в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются незави­симо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

2.3. Вероятность того, что потребитель увидит рек­ламу определенного продукта по каждому из 3 цен­тральных телевизионных каналов, равна 0,05. Пред­полагается, что эти события — независимы в сово­купности. Чему равна вероятность того, что потреби­тель увидит рекламу: а) по всем 3 каналам; б) хотя бы по 1 из этих каналов?

2.4. Торговый агент предлагает клиентам иллюс­трированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, кото­рым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил кни­гу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы 1 книгу? Прокомментируйте предположения, которые вы использовали при ре­шении задачи.

2.5. В налоговом управлении работает 120 сотруд­ников, занимающих различные должности.

Все  сотрудники	Руководители	Рядовые сотрудники	Итого
Мужчины	29	67	96
Женщины	4	20	24
Итого	33	87	120

На профсоюзном собрании женщины заявили о дискриминации при выдвижении на руководящие должности. Правы ли они?

2.6. В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 — среднее специальное образование, у 357 высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что слу­чайно выбранный работник имеет или среднее специ­альное, или высшее образование, или и то и другое?

2.7. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций бу­дет расти в это же время, равна 0,80. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,40. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет расти, а норма про­цента падать в течение обсуждаемого периода.

2.8. Вероятность для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, полу­чить контракт в стране А равна 0,4, вероятность выиграть его в стране В равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

2.9. Город имеет 3 независимых резервных источ­ника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника электроэнергии. Вероятность того, что любой из 3 резервных источников будет доступен при отклю­чении постоянного источника, составляет 0,8. Ка­кова вероятность того, что не произойдет аварий­ное отключение электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?

2.10. Покупатель может приобрести акции 2 ком­паний А и В. Надежность 1-й оценивается экспер­тами на уровне 90%, а 2-й - 80%. Чему равна вероятность того, что: а) обе компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банк­ротство?

2.11. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компа­ния проводит случайную выборку счетов для про­верки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок - 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероят­ность того, что среди них нет ошибок?

2.12. На сахарном заводе один из цехов произво­дит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случай­ности отбора.

2.13. Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, с 90%-й вероятностью обратятся за покупкой определенного ассортимента товаров в ее магазины. Если это прои­зойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар в магазинах этой компании с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что об­ладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

2.14. Аудиторская фирма размещает рекламу в жур­нале «Коммерсант». По оценкам фирмы 60% лю­дей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещен­ной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиен­тами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?

2.15. В городе 3 коммерческих банка, оценка на­дежности которых - 0,95, 0,90 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перс­пектив развития города администрацию интересу­ют ответы на следующие вопросы: а) какова веро­ятность того, что в течение года обанкротятся все 3 банка; б) что обанкротится хотя бы 1 банк?

2.16. О двух акциях А и В известно, что они выпу­щены одной и той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра под­нимется в цене?

2.17. Инвестор предполагает, что в следующем пе­риоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,7, а компании М - 0,4. Вероят­ность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность их рос­та или компании N, или компании М, или обеих компаний вместе.

2.18. Крупная торговая компания занимается оп­товой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 ре­гионах, основанный на ее собственной системе ко­дов, рассылает им по почте каталог товаров. Ме­неджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компа­ния получит ответ хотя бы из одного региона?

2.19. Секрет увеличения доли определенного това­ра на рынке состоит в привлечении новых потреби­телей и их сохранении. Сохранение потребителей то­вара («brand loyalty» - приверженность потребите­ля к данной марке или разновидности товара) - одна из наиболее ответственных областей рыночных ис­следований. Производители нового сорта духов зна­ют, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание «brand loyalty» потребует, по крайней мере, 6 месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет но­вый сорт, равна 0,05. Предположим, потребитель только что приобрел новый сорт духов (изменил марку товара). Чему равна вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение 6 месяцев?

2.20. Вероятность того, что покупатель, собираю­щийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15, только пакет программ - 0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Задачи к теме 3

3.1. Директор компании имеет 2 списка с фамили­ями претендентов на работу. В 1-м списке — фами­лии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказа­лись 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов слу­чайно выбирается из 2-го списка. Если предполо­жить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была пе­ренесена фамилия женщины?

3.2. Агент по недвижимости пытается продать уча­сток земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с ве­роятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономичес­кая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консуль­тирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?

3.3. Судоходная компания организует средиземно­морские круизы в течение летнего времени и про­водит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важ­но, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, бу­дет равна 0,92, если доллар не подорожает по отно­шению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если дол­лар подорожает. По оценкам экономистов, вероят­ность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна ве­роятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

3.4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответству­ющие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он опреде­ляет вероятность того, что новый товар более высо­кого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конку­рентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно кон­курентоспособный, то предсказание такого же выво­да имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что оп­рос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, рав­на 0,2. С учетом результата опроса оцените вероят­ность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.

3.5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на про­дукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила пред­положение о росте спроса. Положительные прогно­зы консультационной фирмы сбываются с вероят­ностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса дей­ствительно произойдет?

3.6. Исследователь рынка заинтересован в прове­дении интервью с супружескими парами для выяс­нения их предпочтений к некоторым видам това­ров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 муж­чин, во 2-й - супружеская пара, в 3-й - 2 женщи­ны. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выб­ранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог по­дойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или жен­щина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.

3.7. Среди студентов института - 30% первокурс­ники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. По дан­ным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оцен­ки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) - третьекурсник?

3.8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, полу­чая кредит, не выполняют своих платежных обяза­тельств. Менеджер по кредитам предлагает в буду­щем отказывать в кредитной поддержке тем поку­пателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% та­ких покупателей задерживают платежи, по край­ней мере, на 2 месяца.

Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задер­живают очередной взнос, но и вообще не выполня­ют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил оче­редной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по креди­ту. Проанализировав полученные вероятности, кри­тически оцените новую кредитную политику, раз­работанную отделом менеджмента.

3.9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 30% - по СНГ и 10% - международ­ные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на междуна­родных - 90%. Из прибывших в аэропорт пасса­жиров случайно выбирается 1. Чему равна вероят­ность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?

3.10. Нефтеразведочная экспедиция проводит ис­следования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважи­ны. Исходя из результатов предыдущих исследова­ний, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейс­мический тест, который имеет определенную сте­пень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может оши­бочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?

3.11. Экспортно-импортная фирма собирается зак­лючить контракт на поставку сельскохозяйствен­ного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одно­временно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конку­рент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность зак­лючения контракта?

3.12. Транснациональная компания обсуждает воз­можности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менедже­ры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политичес­кого климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оце­нивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая си­туация будет нейтральной; в 0,10, если политичес­кая ситуация в течение года будет неблагоприят­ной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и небла­гоприятной политических ситуаций соответствен­но равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероят­ность успеха инвестиций?

3.13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их ве­роятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономи­ческого состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятнос­тью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в насто­ящий момент индекс экономического состояния воз­рос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

3.14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный па­кет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель сове­та директоров поглощаемой фирмы выйдет в отстав­ку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему рав­на вероятность успеха сделки?

3.15. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварий­ная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с веро­ятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварий­ной ситуации?

3.16. Вероятность того, что клиент банка не вер­нет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Пред­положим, что вероятность того, что начнется пери­од экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

3.17. Перед тем, как начать маркетинг нового това­ра по всей стране, компании-производители часто проверяют спрос на него по отзывам случайно выб­ранных потенциальных покупателей. Методы про­ведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для опре­деленного товара известно, что вероятность его воз­можного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар мо­жет иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее ре­зультаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

3.18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Произво­дительность 1-го автомата вдвое больше производи­тельности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й - 84% де­талей отличного качества. Наудачу взятая с кон­вейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом.

3.19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитив­но реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негатив­но. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

3.20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользовать­ся спросом при наличии на рынке конкурирующе­го товара, равна 0,42. Вероятность того, что конку­рирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, рав­на 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Задачи к теме 4

4.1. В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, кото­рые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые ха­рактеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше одного банка?

4.2. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета - 3 у.е. Найдите числовые характеристи­ки этих распределений. Запишите в общем виде фун­кции распределений вероятностей и постройте их графики.

4.3. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Пред­положим, что нефтеразведку осуществляют незави­симые друг от друга разведывательные партии. Со­ставьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех?

4.4. Под руководством бригадира производствен­ного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих слу­чайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики это­го распределения. Запишите в общем виде функ­цию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что будет выбра­но не более одной женщины?

4.5. Некоторый ресторан славится хорошей кух­ней. Управляющий ресторана хвастает, что в суб­ботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей. Составьте ряд распределения возмож­ного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график. Найдите число­вые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероят­ностей и постройте ее график. Чему равна вероят­ность того, что 3 или более групп посетителей при­будут в ресторан в течение 10-минутного проме­жутка времени?

4.6. Хорошим считается руководитель, принима­ющий не менее 70% правильных решений. Тако­му управляющему банком предстоит принять ре­шения по 4 важным вопросам банковской полити­ки. Считая вероятность принятия правильного ре­шения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управля­ющего; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3 правиль­ных решений?

4.7. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых. Тщательной проверке под­вергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд распределения числа фальшивых авизо, кото­рые могут быть выявлены в ходе проверки; пост­ройте его график. Найдите числовые характерис­тики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?

4.8. В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам, которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в сред­нем 8 студентов посещают его за час консультаци­онного времени, хотя точное число студентов, посе­щающих консультацию в определенный день, в на­значенный час, - случайная величина. Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в тече­ние часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что 3 студента при­дут на консультацию в течение определенного по­лучаса?

4.9. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошиб­ки, составьте ряд распределения правильных сче­тов. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Запишите в общем виде функцию рас­пределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой?

4.10. Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для про­верки в случайном порядке было отобрано 15 чело­век старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики этого распреде­ления. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему рав­на вероятность того, что, по крайней мере, 10 чело­век потребуют возмещения страховых сумм?

4.11. Экзаменационный тест содержит 15 вопро­сов, каждый из которых имеет 5 возможных отве­тов и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сдает экзамен, знает ответы не на все вопросы. Составьте ряд распределения числа пра­вильных ответов студента на вопросы теста и пост­ройте его график. Найдите числовые характерис­тики этого распределения. Запишите функцию рас­пределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что студент правиль­но ответит, по крайней мере, на 10 вопросов?

4.12. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие ком­пании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор слу­чайно отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных ауди­тором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите ве­роятность того, что аудитор обнаружит более чем 1 ошибку.

4.13. В городе 10 машиностроительных предприя­тий, из которых 6 - рентабельных и 4 - убыточ­ных. Программой приватизации намечено прива­тизировать 5 предприятий. При условии проведе­ния приватизации в случайном порядке составьте ряд распределения рентабельных предприятий, по­павших в число приватизируемых; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что будет приватизировано не ме­нее 4 рентабельных предприятий?

4.14. В международном аэропорту время прибы­тия самолетов различных рейсов высвечивается на электронном табло. Появление информации о раз­личных рейсах происходит случайно и независи­мо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 10 рейсов в час. Составьте ряд распределения чис­ла сообщений о прибытии самолетов в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распре­деления. Запишите функцию распределения веро­ятностей и постройте ее график, чему равна веро­ятность того, что в течение часа прибудут не менее 3 самолетов? Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один само­лет?

4.15. Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что теле­зритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны 10 телезрителей. Со­ставьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 телезри­теля этого канала видели рекламу нового детского питания?

4.16. В часы пик для общественного транспорта города происходит в среднем 2 дорожных проис­шествия в час. Утренний пик длится 1,5 ч, а ве­черний - 2ч. Составьте ряды распределения чис­ла дорожных происшествий в утренние и вечер­ние часы пик и постройте их графики. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики. Чему равна вероятность того, что в определенный день во время и утренне­го, и вечернего пика не произойдет ни одного до­рожного происшествия?

4.17. В магазине имеется 15 автомобилей опреде­ленной марки. Среди них - 7 черного цвета, 6 - серого и 2 - белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цве­та. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что авто­мобили отбирались случайно, и постройте его гра­фик. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Напишите функцию распределения ве­роятностей и постройте ее график. Какова вероят­ность того, что среди проданных фирме автомоби­лей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля чер­ного цвета?

4.18. На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Со­ставьте ряд распределения числа отказов оборудо­вания в течение часа. Найдите числовые характе­ристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и пост­ройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 2 единицы обо­рудования?

4.19. Торговый агент в среднем контактирует с 8 по­тенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Составь­те ряд распределения ежедневного числа продаж для агента и постройте его график. Найдите число­вые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероятно­стей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы 2 продажи в тече­ние дня?

4.20. Прибытие посетителей в банк подчиняется одному из теоретических законов распределения. Предполагая, что в среднем в банк каждые 3 мину­ты входит 1 посетитель, составьте ряд распределе­ния возможного числа посетителей банка в течение 15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что, по крайней мере, 3 посетителя войдут в банк в течение 1 минуты?

Задачи к теме 5

5.1. Дневная добыча угля в некоторой шахте рас­пределена по нормальному закону с математиче­ским ожиданием 785 т и стандартным отклонени­ем 60 т. Найдите вероятность того, что в опреде­ленный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые бу­дет добыто от 750 до 850 т угля. Найдите вероят­ность того, что в данный день добыча угля окажет­ся ниже 665 т.

5.2. Кандидат на выборах считает, что 20% изби­рателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя слу­чайно отобраны из числа избирателей данной обла­сти, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не бу­дет отличаться по абсолютной величине от истин­ной доли более, чем на 0,07.

5.3. Авиакомпания знает, что в среднем 5% лю­дей, делающих предварительный заказ на опреде­ленный рейс, не будет его использовать. Если авиа­компания продала 160 билетов на самолет, в кото­ром лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

5.4. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределен­ная случайная величина с неизвестным математи­ческим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выб­ранного грейпфрута.

5.5. Один из методов, позволяющих добиться ус­пешных экономических прогнозов, состоит в при­менении согласованных подходов к решению конк­ретной проблемы. Обычно прогнозом занимается большое число аналитиков. Средний результат та­ких индивидуальных прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением  9% и стандарт­ным отклонением 2,6%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Най­дите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

5.6. Предположим, что в течение года цена на ак­ции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с матема­тическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандарт­ным отклонением, равным 6. Определите вероят­ность того, что в случайно выбранный день обсужда­емого периода цена за акцию была: а) более 60 у.е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между 40 и 50 у.е. за акцию.

5.7. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзаме­ны. В среднем их выдерживают лишь 25% абиту­риентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все эк­замены (наберут проходной балл)?

5.8. Средний срок службы коробки передач до ка­питального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклоне­нием 16 мес. Привлекая покупателей, произво­дитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколь­ко месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бес­платных ремонтов не превышало 2,275% продан­ных автомобилей?

5.9. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное чис­ло унций (1 унция = 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нор­мальному закону с математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество ун­ций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение 0,4 унции. Пусть ем­кости объемом в 8 унций наполняются кока-колой. Сколько унций напитка должен в среднем разли­вать аппарат, чтобы не более 5% емкостей оказа­лось переполненными?

5.10. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением 560 и неизвестным матема­тическим ожиданием. В 90% случаев число еже­месячных заказов превышает 12 439. Найдите ожи­даемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

5.11. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134 786 ед. продук­ции в неделю, и стандартным отклонением - 13 000 ед. Найдите вероятность того, что еженедель­ный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверж­дает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (). Можно ли доверять проф­союзу?

5.12. Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установле­но, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объем переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N и стандартным откло­нением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться в преде­лах: а) от 21 000 до 27 000 руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 000 руб.

5.13. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресто­ран поужинать. В один из вечеров менеджер ре­шил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероят­ность того, что более 15 посетителей придут на за­казанные места?

5.14. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2% и стандартным отклонением 0,6%. Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого кор­ма доля протеина составляла не меньше , но не более  Найдите и  .

5.15. Вес товаров, помещаемых в контейнер опре­деленного размера, - нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейне­ров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25% - имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

5.16. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполя­рья есть случайная величина . Чему рав­на вероятность того, что абсолютная величина от­клонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?

5.17. Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точ­но установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера бо­лее чем на мм, считается дефектной. Компа­ния А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компания В выпол­няет требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормаль­ному закону.

5.18. Компьютерная система содержит 45 одина­ковых микроэлементов. Вероятность того, что лю­бой микроэлемент будет работать в заданное вре­мя, равна 0,80. Для выполнения некоторой опера­ции требуется, чтобы по крайней мере 30 микро­элементов было в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

5.19. Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе­ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2 500 миль (2 500). Если компания хочет, чтобы 80% выпускаемых автопок­рышек имели срок службы не менее 25 000 миль, то какой наименьший средний срок службы авто­покрышек должен быть заложен в расчетах технического отдела? Считать срок службы автопок­рышек нормально распределенным.

5.20. Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много вре­мени на выполнение их заказов. Собрав и проана­лизировав соответствующую информацию, он вы­яснил, что среднее время выполнения заказа состав­ляет 6,6 дня, однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дней и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, рас­пределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени об­служивания клиентов.

Задачи к теме 6

6.1. По данным выборочного обследования получе­но следующее распределение семей по среднедушевому доходу

Среднедушевой доход семьи в месяц, у.е.	до 25	25-50	50-75	75-100	100-125	125-150	150 и выше
Количество обследованных семей	46	236	250	176	102	78	12

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите Среднедушевой доход семьи в выборке, дис­персию, среднее квадратическое отклонение, коэффи­циент вариации. Объясните полученные результаты.

6.2. Постройте гистограмму частот, найдите сред­нюю заработную работников одного из цехов про­мышленного предприятия.

Заработная плата, у.е.	50-75	75-100	125-150	150-175	175-200	200-225
Число работников	12	23	37	19	15	9

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.

6.3. Ниже представлена группировка отраслей и под­отраслей промышленности по темпам роста цен на изготавливаемую продукцию за период с начала года.

Сентябрь 2001 г., % к декабрю 2000 г.	92,1-100,0	100,1-108,0	108,1-116,0	116,1-124,0	124,1-132,0	132,1-140,0
Число отраслей и подотраслей, единиц	4	15	21	31	19	18

Найдите среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент ва­риации. Постройте гистограмму. Сделайте выводы.

6.4. По результатам выборочного обследования тор­говых киосков города получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса.

Выручка от продажи товара, тыс. у.е.	до 1	1-1,2	1,2-1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0 и выше
Число торговых киосков	10	12	22	26	18	7	5

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедневную выручку от продажи товаров, дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние, коэффициент вариации. Объясните получен­ные результаты.

6.5. Имеются данные о денежной эмиссии, осуще­ствлявшейся ЦБ РФ в период 1991-1994 гг.

Годы	1991	1992	1993	1994
Размеры эмиссии, млрд. руб.	89,3	1513,0	10904,8	23169,9

Найдите среднегодовой размер эмиссии за ука­занный период. Охарактеризуйте колеблемость раз­мера эмиссии с помощью различных показателей вариации.

6.6. Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм соб­ственности были проведены выборочные бизнес обследования и получены следующие результаты:

Интервалы значений показателя деловой активности, бал	0-8	8-16	16-24	24-32
Число предприятий (акционерные общества открытого типа)	10	15	8	5

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой ак­тивности, дисперсию, среднее квадратическое от­клонение, коэффициент вариации. Объясните по­лученные результаты.

6.7. Продажа акций на аукционе акционерными обществами города характеризуется следующими данными:

Продажа акций, % от уставного капитала	9-15	15-21	21-27	27-33
Число акционерных обществ открытого типа	3	5	4	2

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний процент продажи акций. Охарак­теризуйте колеблемость процента продажи акций с помощью соответствующих показателей.

6.8. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца.

Число заключенных сделок	10-30	30-50	50-70	70-90
Число брокерских фирм и контор	20	18	12	5

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее число заключенных сделок, дис­персию, среднее квадратическое отклонение, коэф­фициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты.

6.9. Имеются выборочные данные о стоимости по­требительской корзины из 19 основных продуктов по городам Ростовской области (на начало апреля 1996 г.).

Стоимость потребительской корзины, тыс. руб.	196	208	216	222	227	240
Число городов области	2	3	4	4	5	7

Постройте полигон распределения частот. Най­дите среднюю стоимость потребительской корзины в выборке, дисперсию, среднее квадратическое от­клонение, коэффициент вариации. Объясните по­лученные результаты.

6.10. Кредиты ЦБ РФ предприятиям России за 7 ме­сяцев 1992 г. (с апреля по октябрь) характеризуют­ся следующими данными:

Месяц	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь
Размер кредитов, млрд. руб.	918,1	1025,3	1041,8	1393,0	1860,0	2153,2	2731,0

Найдите среднемесячный размер кредита за ука­занный период. Охарактеризуйте колеблемость раз­меров кредита с помощью соответствующих пока­зателей.

6.11. Предположим, что на некотором предприя­тии собраны данные о числе дней, пропущенных работниками по болезни.

Число дней, пропущенных в текущем месяце	0	1	2	3	4	5
Число работников	10	17	25	28	30	27

Постройте полигон распределения частот. Най­дите среднее число пропущенных дней, стандарт­ное отклонение, коэффициент вариации. Является ли распределение симметричным?

6.12. Постройте гистограмму частот, найдите сред­нюю арифметическую, среднее квадратическое от­клонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники.

Выручка, у.е.	0-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700
Число дней	3	5	9	14	8	3

6.13. Имеются данные о числе тонн грузов, пере­возимых еженедельно паромом некоторого морско­го порта в период навигации: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499, 580, 606, 344, 455, 505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582.

Составьте вариационный ряд. Найдите среднюю арифметическую. Рассчитайте показатели вариации ряда. Сделайте анализ полученных результатов.

6.14. Предположим, у вас есть следующая инфор­мация об акциях А и В:

Экономическое состояние в следующем году	Вероятность того, что произойдет	Возврат по акции В в следующем году, %	Возврат по акции А в следующем году, %
Снижение деловой активности	0,3	9,8	10
Умеренный рост	0,4	11,2	11
Подъем деловой активности	0,3	13	12

Рассчитайте среднюю арифметическую, диспер­сию и коэффициент вариации для акций А и В. Если вы решили купить одну акцию, какую из двух вы выберете? Почему?

6.15. Проанализируйте данные годовых уровней прибыли трех компаний.

Год	Cherry Computers	Lemon  Motors	Orange Electronics
1983	14,2	-6,2	37,5
1984	12,3	13,3	-10,6
1985	-16,2	-8,4	40,3
1986	15,4	27,3	5,4
1987	17,2	28,2	6,2
1988	10,3	14,5	10,2
1989	-6,3	-2,4	13,8
1990	-7,8	-3,1	11,5
1991	3,4	15,6	-6,2
1992	12,2	18,2	27,5

Найдите среднее значение и стандартное откло­нение прибыли для каждой из компаний. Сравните результаты их деятельности за 10 лет. Деятельность какой из компаний, по вашему мнению, более ус­пешна?

6.16. Таблица, приведенная ниже, содержит дан­ные о стоимости акций Charleston Corporation в различных экономических ситуациях.

Экономическое состояние в следующем году	Вероятность того, что произойдет	Цена за акцию, долларов США
Кризис	0,25	65
Снижение деловой активности	0,25	80
Умеренный рост	0,30	95
Подъем деловой активности	0,20	100

Рассчитайте среднюю стоимость акций, диспер­сию и коэффициент вариации. Проанализируйте полученные результаты.

6.17. Администрацию универсама интересует оп­тимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем покупок това­ров, не являющихся предметом ежедневного потреб­ления в семье (таких, например, как сода). Для вы­яснения этого вопроса менеджер универсама в те­чение января регистрировал частоту покупок сто­граммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные : 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4, 6, 5, 4, 2, 1, 0, 8.

Постройте вариационный ряд, определите его числовые характеристики. Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама?

6.18. Ниже приводятся данные о возрастном со­ставе безработных по Российской Федерации, заре­гистрированных в службе занятости по сведениям на последнюю неделю марта 2001 г., %.

Возраст	16-29	20-24	25-29	30-49	50-54	55-59	60-65
Мужчины	7,7	17,0	11,9	50,9	4,2	5,7	2,6
Женщины	11,2	18,5	11,7	49,5	4,0	3,8	1,3

Найдите средний возраст безработных мужчин и женщин, дисперсию, среднее квадратическое откло­нение и коэффициент вариации. Оцените различия показателей возрастного состава безработных муж­чин и женщин. Сделайте выводы.

6.19. Число пассажиров компании «Аэрофлот-Дон» одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего года составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120,116,125,128,121,129,130,131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132,136, 134,129.

Составьте вариационный ряд. Чему равно сред­нее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показа­тели вариации. Сделайте анализ полученных резуль­татов.

6.20. Имеются данные о группировке коммерчес­ких банков РФ по величине объявленного уставно­го капитала (на 1 марта 1995 г.).

Объявленный уставный капитал, руб.	До 100 млн.	100-500 млн.	500 млн. – 1 млрд.	Свыше 1 млрд.
Число коммерческих банков	87	1075	377	1004

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний размер объявленного уставного капитала коммерческих банков РФ. Охарактеризуйте колеблемость размера объявленного уставного капитала коммерческих банков с помощью соответствую­щих показателей.

Задачи к теме 7

7.1. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-я случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были полу­чены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверитель­ной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое откло­нение составило 150 у. е.?

7.2. Фирма, торгующая автомобилями в неболь­шом городе, собирает информацию о состоянии ме­стного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8746 лиц в возрасте 18 лет и старше, про­живающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году. Оце­ните долю лиц в генеральной совокупности в возра­сте 18 лет и старше, планирующих приобрести но­вый автомобиль в текущем году, если .

7.3. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной по­вторной выборки отобраны 400 человек рабочих спе­циальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-й доверительный интервал, оцени­те истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

7.4. Туристическое бюро, рекламируя отдых на одном из морских курортов, утверждает, что для этого курорта характерна идеальная погода со среднегодовой температурой +20° С. Пусть случай­но отобраны 35 дней в году. Какова в этом случае вероятность того, что отклонение средней темпера­туры за отобранные дни от среднегодовой темпера­туры не превысит по абсолютной величине 2°С, если температура воздуха распределена по нормальному закону, а стандартное отклонение дневной темпе­ратуры составляет 4°С?

7.5. Выборочные обследования малых предприя­тий города показали, что 95% малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах нахо­дится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попа­ло 100 предприятий?

7.6. В целях изучения среднедушевого дохода се­мей города в 1995 г. была произведена 1%-я повтор­ная выборка из 30 тыс. семей. По результатам об­следования среднедушевой доход семьи в месяц со­ставил 200 тыс. руб. со средним квадратическим от­клонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0,95 найдите доверительный интервал, в котором на­ходится величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной ве­личиной, распределенной по нормальному закону.

7.7. Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовано 300 семей города. Оказалось, что среди обследован­ных семей 15% состоят из 2 человек. В каких пре­делах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из 2 человек, если принять дове­рительную вероятность равной 0,95?

7.8. По данным выборочных обследований в 1995 г. прожиточный минимум населения Северо-Кавказ­ского района составил в среднем на душу населе­ния 87 тыс. руб. в месяц. Каким должен был быть минимально необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что этот показатель уровня жизни населения в выбор­ке отличается от своего значения в генеральной со­вокупности не более чем на 10 тыс. руб., если сред­нее квадратическое отклонение принять равным 30 тыс. руб.?

7.9. В 1995 г. выборочное обследование распреде­ления населения города по среднедушевому денеж­ному доходу показало, что 40% обследованных в выборке имеют среднедушевой денежный доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной совокупности, если объем генеральной совокупности составляет 1 000 000 единиц, выборка не превышает 10% объе­ма генеральной совокупности и осуществляется по методу собственно-случайного бесповторного отбо­ра, а доверительная вероятность принимается рав­ной 0,954?

7.10. Аудиторская фирма хочет проконтролиро­вать состояние счетов одного из коммерческих бан­ков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движе­ние денежных средств в течение месяца. Построй­те 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по кото­рым имело место движение денежных средств в течение месяца.

7.11. Строительная компания хочет оценить воз­можности успешного бизнеса на рынке ремонтно-строительных работ. Эта оценка базируется на слу­чайной бесповторной выборке, в соответствии с ко­торой из 1000 домовладельцев, собирающихся ре­монтировать или перестраивать свои дома, отобра­ны 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 5000 у.е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в гене­ральной совокупности по абсолютной величине не более, чем на 100 у.е., если стандартное отклоне­ние стоимости строительных работ в выборке со­ставило 500 у.е.?

7.12. Менеджер компании, занимающейся прока­том автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний про­бег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая про­бег автомобиля случайной величиной, распределен­ной по нормальному закону, найдите 95%-й дове­рительный интервал, оценивающий средний про­бег автомобилей всего парка в течение месяца.

7.13. Среднемесячный бюджет студентов в коллед­жах одного из штатов США оценивается по случай­ной выборке. С вероятностью 0,954 найдите наи­меньший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 у.е., а предельная ошиб­ка средней не должна превышать 20 у.е.

7.14. Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения сред­него размера такого кредита. Из 9706 клиентов бан­ка опрошено 1000 человек. Среднее значение необ­ходимого кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95% -го доверительного интервала для оцен­ки неизвестного среднего значения кредита в гене­ральной совокупности.

7.15. Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупа­телей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку гене­ральной доли с точностью не менее 0,05 при дове­рительной вероятности 0,90?

7.16. С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследова­ниях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин, а отклонение выбороч­ной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин с вероятнос­тью 0,99?

7.17. При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-й довери­тельный интервал, оценивающий долю всех теле­зрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.

7.18. Для оценки остаточных знаний по общеэконо­мическим предметам были протестированы 25 сту­дентов 2-го курса факультета. Получены следую­щие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студен­тов 2-го курса факультета.

7.19. Для изучения размера среднемесячной зара­ботной платы занятого населения региона произво­дится случайная повторная выборка. Каким дол­жен быть объем этой выборки, чтобы с доверитель­ной вероятностью 0,997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величи­не не более чем на 25%, если среднемесячная зара­ботная плата в выборке составила 220 у.е. со сред­ним квадратическим отклонением 120 у.е.?

7.20. Выборочное исследование деятельности ком­мерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стан­дартным отклонением, равным 5). Найдите объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка выборочной средней находится в пределах 20% от ее фактического значения, а до­верительная вероятность составляет 0,95.

Задачи к теме 8

8.1. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в сред­нем в неделю 400 г. веса. Случайным образом ото­браны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г. со средним квадратическим отклонением 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости .

8.2. Поступление страховых взносов в 130 филиа­лов страховых организаций в регионе А составило 26*10⁴ у.е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18*10⁴ у.е. Дисперсия величины страховых взно­сов в регионе А равна 39*10⁸ (у. е.)², в регионе В – 25*10⁸ (у. е.)². На уровне значимости  опре­делите, существенно ли различается средняя ве­личина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал.

8.3. Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кари­еса, чем зубные пасты, производимые другими фир­мами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользо­вались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные ос­нования для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости .

8.4. В 1995 г. число договоров добровольного стра­хования, заключенных государственными страхо­выми организациями, составило в Ростовской об­ласти 1858*10³ на сумму 7461*10⁶ руб. Негосудар­ственные страховые организации заключили 1250*10⁴ договоров добровольного страхования на сумму 34884*10⁶ руб. Предположительно дисперсия страховой суммы договоров, заключенных государственными страховыми организациями, равна 10¹⁶ руб.², а договоров, заключенных негосударственными страховыми организациями, - 8*10¹⁷ руб.². Имеются ли существенные различия в средних раз­мерах страховых сумм договоров добровольного страхования, заключаемых государственными и не­государственными страховыми организациями? Уровень значимости  принять равным 0,01.

8.5. Крупный коммерческий банк заказал марке­тинговое исследование по выявлению эффекта «пре­мирования» (калькулятор, набор ручек и др.) как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премиро­ванных» посетителей и 200 «непремированных». В результате выяснилось, что 89% посетителей, ко­торым предлагалась премия, и 79% посетителей, которым не предлагалась премия, открыли счет в банке в течение 6 мес. Используя эти данные, про­верьте гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, статистичес­ки существенно отличается от удельного веса «не­премированных» посетителей, открывших счет в банке. Принять уровень значимости .

8.6. Инженер по контролю качества проверяет сред­нее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было ото­брано 100 ламп, среднее время горения которых со­ставило 1075 ч. Предположим, что среднее квадратическое отклонение времени горения для генераль­ной совокупности известно и составляет 100 ч. Ис­пользуя уровень значимости , проверьте ги­потезу о том, что среднее время горения ламп - более 1 000 ч.

Предположим, что инженер по контролю каче­ства не имеет информации о генеральной диспер­сии и использует выборочное среднее квадратическое отклонение. Изменится ли ответ задачи?

8.7. Компания, выпускающая в продажу новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов поку­пателей по случайной выборке из 400 человек и вы­яснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости  гипотезу о том, что, по крайней мере, 52% потреби­телей предпочтут новый сорт кофе.

8.8. Страховая компания изучает вероятность до­рожных происшествий для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случай­ная выборка 2 000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попада­ли в дорожные происшествия и предъявили компа­нии требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имею­щих страховые полисы, попадали в дорожные про­исшествия в прошлом году? Принять уровень зна­чимости .

8.9. Новое лекарство, изобретенное для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную, проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин. Результаты выявили, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приеме нового медикамен­та. Можем ли мы на основании эксперимента ут­верждать, что побочные эффекты нового лекарства у женщин проявляются в большей степени, чем у мужчин? Принять уровень значимости .

8.10. В 1995 г. в Ростовской области обследовано 12 промышленных предприятий и 14 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая при­быль промышленных предприятий оказалась равной 25*10⁷pyб., а строительных организаций – 12*10⁸ руб. Исправленная выборочная дисперсия прибыли про­мышленных предприятий составила 64*10¹⁶ руб.², строительных организаций – 16*10¹⁶ руб.². На уров­не значимости  определите, являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных орга­низаций случайными.

8.11. На 1 января 1996 г. численность беженцев в Ростовской области составляла 32 412 чел. при об­щей численности наличного населения 4425400 чел. В Краснодарском крае на 5043900 чел. на­личного населения приходилось 30423 беженца. На уровне значимости  ответьте на вопрос: «Объясняется ли более высокий удельный вес бе­женцев в общей численности населения в Ростов­ской области в сравнении с Краснодарским краем случайными факторами или имеет смысл поиск факторов, обусловивших это явление?»

8.12. Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором са­хар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2 тыс. чел., и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что толь­ко 70% всех ее потребителей предпочтут новую мо­дификацию напитка старой? Принять уровень зна­чимости .

8.13. Производители нового типа аспирина утвер­ждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чел., страдающих голов­ными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости  справедливость утверж­дения производителей аспирина о том, что это ле­карство излечивает головную боль за 30 мин.

8.14. Доля убыточных предприятий в промышлен­ности в целом по России в 1995 г. составила 26%, а в Ростовской области - 27%. В 1995 г. в Ростов­ской области насчитывалось 7579 промышленных предприятий. На уровне значимости  опре­делите, являются ли различия в удельном весе убы­точных промышленных предприятий в России и в Ростовской области случайными или в Ростовской области действует комплекс экономических усло­вий, обусловливающих повышенную долю нерен­табельных предприятий?

8.15. В 1995 г. доля предприятий государственной формы собственности в Ростовской области соста­вила 2,3% от общего числа промышленных пред­приятий. Среди 2236 машиностроительных и ме­таллообрабатывающих предприятий она оказалась равной 2,1%. На уровне значимости  опре­делите, существенно ли меньше удельный вес госу­дарственных предприятий в машиностроении и ме­таллообработке, чем в целом в промышленности области?

8.16. В 1996 г. годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 12*10⁴ у.е.; в регионе В годовой оборот 5 бирж — 125*10³ у. е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной З*10⁴(у.е.)², в регионе В – 2*10⁴ (у. е.)². Можно ли на уровне значимости  утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

8.17. Компания, занимающаяся консультировани­ем в области инвестиций, заявляет, что среднего­довой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5%. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним квадратическим отклоне­нием 3,4%. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно основа­ний, чтобы опровергнуть заявление компании? При­нять уровень значимости .

8.18. Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефек­тов. Проверьте справедливость утверждения произ­водителя продукции на уровне значимости .

8.19. Главный бухгалтер большой корпорации про­вел обследование по данным прошедшего года с целью выяснения доли некорректных счетов. Из 2000 выбранных счетов в 25 оказались некоррект­ные проводки. Для уменьшения доли ошибок он внедрил новую систему. Год спустя он решил про­верить, как работает новая система, и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 3000 счетов компании. Среди них оказалось 30 некорректных. Можем ли мы утверждать, что новая система по­зволила уменьшить долю некорректных проводок в счетах? Принять уровень значимости .

8.20. Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по ме­сяцам года, несмотря на то, что поставщик в пол­ном объеме выполнил свои обязательства за год. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж неравномерны. Распределение поставок по ме­сяцам года имеет следующий вид:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем поставок, единиц	19	23	26	18	20	20	20	20	32	27	35	40

На уровне значимости  определите, кто прав: владелец фирмы или поставщик? Изменится ли ответ на поставленный вопрос, если уровень значимости принять равным 0,01? Объясните результаты.